Transformaciones lineales

 1.    Qué es una transformación lineal

una transformación lineal es una función. Por ser función, tiene su dominio y su codominio, con la particularidad de que éstos son espacios vectoriales. Tenemos dos espacios vectoriales VV y WW, y una función que va de VV a WW. O sea, una regla de asignación que transforma vectores de VV en vectores de WW. Pero no toda función que transforme vectores de VV en vectores de WW es una transformación lineal.

2.    Cuáles son las condiciones para que exista una transformación lineal

F:V→WF:V→W es una transformación lineal si y sólo si:

F(u+v)=F(u)+F(v)    ∀u,v∈VF(u+v)=F(u)+F(v)    ∀u,v∈V

F(k.v)=k.F(v)       ∀v∈V,  ∀k∈R

 

3.    Al menos cinco propiedades o teoremas de las transformaciones lineales

·         Propiedad 1

T (0) = 0

Donde 0 es el vector nulo.

 

·         Propiedad 2

T (-v) = – T (v)

 

·         Propiedad 3

T (u – v) = T (u) – T(v)

 

·         Propiedad 4

Sea v = c1v1 + c2v2 + …. +  cnvn

Entonces:

T (c1v1 + c2v2 + …. +  cnvn) = c1 T(v1) + c2 T(v2) + …. +  cn T(vn)

 

Teorema fundamental de las transformaciones lineales

Este teorema, conocido también como «Teorema de existencia y unicidad de una transformación lineal», dice lo siguiente: Sean los espacios vectoriales VV y W, sea B={v1,v2,…,vn}unabasedeVB={v1,v2,…,vn}unabasedeV y w1,w2,…,wnw1,w2,…,wn vectores cualesquiera (iguales o distintos) de WW. Entonces existe una única transformación lineal que verifica:

 4.    Un ejemplo de una transformación lineal.