Espacios vectoriales

• Qué son los espacios vectoriales.

Un vector es segmento de recta que cuentan con una dirección y sentido

• Enumere los 8 axiomas para comprobar si un conjunto es un espacio vectorial.1. la suma es una operación interna: ´ u + v ∈ V

2. la suma es conmutativa: u + v = v + u
3. la suma es asociativa: (u + v) + w = u + (v + w) = u + v + w
4. elemento neutro de la suma: ∃0 ∈ V | v + 0 = v, ∀v ∈ V
5. elemento inverso en la suma: ∀v ∈ V , ∃v 0 ∈ V | v + v 0 = 0, se escribe v 0 = (−v)
6. la multiplicación por un escalar produce un vector: ´ cv ∈ V
7. distributividad I: c (u + v) = cu + cv
8. distributividad II: (c + d)v = cv + d v

• Qué es un subespacio vectorial.

Sea VV un espacio vectorial y WW un subconjunto no vacío de VV.


WW es un subespacio de VV si WW es en sí mismo un espacio vectorial con las mismas operaciones (suma de vectores y producto por un escalar) definidas en V

• Enumere las tres propiedades que permiten probar si un subconjunto de un espacio vectorial e u subespacio.

a. 0V0V está en WW.
b. Si uu y vv están en WW, entonces u+vu+v está en WW.
c. Si uu está en WW y kk es un escalar, kuku está en WW.

• Explique cuales son la dimensión y el rango de un subespacio y que es una base.

BASE: Es un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.

DIMENSIÓN: es el máximo número de vectores independientes que podemos tener en el espacio o subespacio. En otras palabras, es el máximo rango que puede tener un Es también el rango de cualquier sistema generador de dicho espacio. conjunto de vectores de dicho espacio.

PROPIEDADES DE LA DIMENSIÓN:
1. Significado físico de la dimensión: el espacio tiene dimensión 3, los planos dimensión
2, las rectas dimensión 1, el punto dimensión 0. El subespacio {0} es el único de dimensión 0. 2. La dimensión de un subespacio en ℜn , coincide con el número de parámetros libres en su forma paramétrica. (1 parámetro=recta, 2 parámetros= plano...)
3. Si S y T son subespacios y S está contenido en T, entonces dim S ≤ dim T. Además, si se da la igualdad, dim S = dim T, entonces ambos espacios han de coincidir.

RANGO: es igual a la dimensión del subespacio que generan. Es decir: si v1,v2,. . . vn generan un cierto subespacio S, y si el rango de dicho conjunto es r, entonces dim S = r. (Si un cierto conjunto de vectores tienen rango 2, entonces generan un plano;